數(shù)學(xué)數(shù)列典型10類例題

1. 前n項(xiàng)和公式：適用于等差數(shù)列和等比數(shù)列。

題型：給定數(shù)列的前n項(xiàng)，求和。

2. 首尾項(xiàng)和法：適用于等差數(shù)列。

題型：給定數(shù)列的首項(xiàng)和尾項(xiàng)，求和。

3. 差項(xiàng)和法：適用于等差數(shù)列。

題型：給定數(shù)列的公差和項(xiàng)數(shù)，求和。

4. 平均值法：適用于等差數(shù)列。

題型：給定數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)，求和。

5. 分組求和法：適用于等差數(shù)列以及部分特殊數(shù)列。

題型：將數(shù)列分成若干個(gè)分組，每個(gè)分組內(nèi)的項(xiàng)之和相等，求總和。

6. 奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)和法：適用于部分特殊數(shù)列。

題型：給定數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)之和，求總和。

7. 數(shù)列展開(kāi)法：適用于部分特殊數(shù)列。

題型：將數(shù)列展開(kāi)，觀察規(guī)律求和。

8. 數(shù)學(xué)歸納法：適用于特殊數(shù)列。

例1:

求等差數(shù)列3.5.7.···的第10項(xiàng)和第100項(xiàng)。

分析：在這個(gè)等差數(shù)列中已知a1=3，d=2.n=10或n=100

即：

解答：

a10=3+（10-1）×2=21

a100=3+（100-1）×2=201

所以第10項(xiàng)是21，第100項(xiàng)是201。

例2:

把1988表示成28個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和，那么其中最大的那個(gè)偶數(shù)是多少？

解答：

28個(gè)偶數(shù)成14組，對(duì)稱的2個(gè)數(shù)是一組，即最小數(shù)和最大數(shù)是一組，

每組和為：1988÷14=142，最小數(shù)與最大數(shù)相差28-1=27個(gè)公差，

即相差2×27=54，這樣轉(zhuǎn)化為和差問(wèn)題，最大數(shù)為（142＋54）÷2=98。

例3:

求所有被7除余數(shù)是1的三位數(shù)的和。

分析：首先分析一下被7除余1的三位數(shù)是哪些，我們知道符合這一條件最小的是105+1=106，采用同樣方法可知最大三位數(shù)是995，而且這些三位數(shù)前后兩數(shù)相差7，即為等差數(shù)列。

即：

解答：

所求的三位數(shù)是106，113，120，......995,則

n=(995-106)÷7+1

=889÷7+1

=128

106+113+120+...+995=(106+995)×128÷2=70464

例4:

盒子里裝著分別寫有1、2、3、……134、135的紅色卡片各一張，從盒中任意摸出若干張卡片，并算出這若干張卡片上各數(shù)的和除以17的余數(shù)，再把這個(gè)余數(shù)寫在另一張黃色的卡片上放回盒內(nèi)，經(jīng)過(guò)若干次這樣的操作后，盒內(nèi)還剩下兩張紅色卡片和一張黃色卡片，已知這兩張紅色的卡片上寫的數(shù)分別是19和97，求那張黃色卡片上所寫的數(shù)。

解答：

因?yàn)槊看稳舾蓚€(gè)數(shù)，進(jìn)行了若干次，所以比較難把握，不妨從整體考慮，之前先退到簡(jiǎn)單的情況分析：假設(shè)有2個(gè)數(shù)20和30，它們的和除以17得到黃卡片數(shù)為16，如果分開(kāi)算分別為3和13，再把3和13求和除以17仍得黃卡片數(shù)16，也就是說(shuō)不管幾個(gè)數(shù)相加，總和除以17的余數(shù)不變，回到題目1＋2＋3＋……＋134＋135=136×135÷2=9180，9180÷17=540， 135個(gè)數(shù)的和除以17的余數(shù)為0，而19+97=116，116÷17=6……14， 所以黃卡片的數(shù)是17-14=3。

例5:

下面的各算式是按規(guī)律排列的：

1＋1，2＋3，3＋5，4＋7，1＋9，2＋11，3＋13，4＋15，1＋17，……， 那么其中第多少個(gè)算式的結(jié)果是1992？

解答：先找出規(guī)律：每個(gè)式子由2個(gè)數(shù)相加，第一個(gè)數(shù)是1、2、3、4的循環(huán)，第二個(gè)數(shù)是從1開(kāi)始的連續(xù)奇數(shù)。

因?yàn)?992是偶數(shù)，2個(gè)加數(shù)中第二個(gè)一定是奇數(shù)，所以第一個(gè)必為奇數(shù)，所以是1或3， 如果是1：那么第二個(gè)數(shù)為1992－1=1991，1991是第（1991+1）÷2=996項(xiàng)，而數(shù)字1始終是奇數(shù)項(xiàng)，兩者不符， 所以這個(gè)算式是3+1989=1992，是（1989＋1）÷2=995個(gè)算式。

例6:

有一個(gè)三角形算式

1

2+3

4+5+6

7+8+9+10

求第51層算式的和是多少？

先觀察，因?yàn)槊繉拥臄?shù)的個(gè)數(shù)與層數(shù)相等，

所以從第1層到第50層共有1+2+3+4+5+...+50=(1+50)×50÷2=1275(個(gè))數(shù)，于是第51層的第一個(gè)數(shù)為1276，最后一個(gè)數(shù)為1275+51=1326

第51層的數(shù)的和相應(yīng)為：

1276+1277+1278+...+1326

=(1276+1326)×51÷2

=66351。