什么是逆矩陣

逆矩陣（inverse matrix），又稱乘法反方陣、反矩陣。廣義逆陣（Generalized inverse）又稱偽逆，是對(duì)逆陣的推廣。一般所說(shuō)的偽逆是指摩爾－彭若斯廣義逆，它是由E. H. Moore和Roger Penrose分別獨(dú)立提出的。偽逆在求解線性最小二乘問(wèn)題中有重要應(yīng)用。

逆矩陣

設(shè)A是數(shù)域上的一個(gè)n階方陣，若在相同數(shù)域上存在另一個(gè)n階矩陣B，使得：AB=BA=E。則我們稱B是A的逆矩陣，而A則被稱為可逆矩陣。注：E為單位矩陣。

基本信息

中文名

逆矩陣

別名

非奇異矩陣滿秩矩陣

外文名

inverse matrix

定義

一個(gè)n階方陣A稱為可逆的，或非奇異的，如果存在一個(gè)n階方陣B，使得

并稱B是A的一個(gè)逆矩陣。不可逆的矩陣稱為奇異矩陣。A的逆矩陣記作A。

定理

驗(yàn)證兩個(gè)矩陣互為逆矩陣

按照矩陣的乘法滿足：

故A，B互為逆矩陣。

逆矩陣的唯一性

若矩陣A是可逆的，則A的逆矩陣是唯一的。

證明：

若B,C都是A的逆矩陣，則有

所以，即A的逆矩陣是唯一的。

判定簡(jiǎn)單的矩陣不可逆

如

假設(shè)有

是A的逆矩陣，則有

比較其右下方一項(xiàng)：。

若矩陣A可逆，則

若A可逆，即有，使得，故

計(jì)算

若，則矩陣A可逆，且

其中，A為矩陣A的伴隨矩陣。

性質(zhì)

1、可逆矩陣一定是方陣。

2、（唯一性）如果矩陣A是可逆的，其逆矩陣是唯一的。

3、A的逆矩陣的逆矩陣還是A。記作。

4、可逆矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣A也可逆，并且(轉(zhuǎn)置的逆等于逆的轉(zhuǎn)置）

5、若矩陣A可逆，則矩陣A滿足消去律。即，則，則。

6、兩個(gè)可逆矩陣的乘積依然可逆。

7、矩陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)它是滿秩矩陣。

證明

1、逆矩陣是對(duì)方陣定義的，因此逆矩陣一定是方陣。設(shè)B與C都為A的逆矩陣，則有

2、假設(shè)B和C均是A的逆矩陣，，因此某矩陣的任意兩個(gè)逆矩陣相等。

3、由逆矩陣的唯一性，A的逆矩陣可寫作（A）和A，因此相等。

AB=AC

4、矩陣A可逆，有。由可逆矩陣的定義可知，A可逆，其逆矩陣為（A）。而（A）也是A的逆矩陣，由逆矩陣的唯一性，因此。

5、1）在兩端同時(shí)左乘A（BA=O同理可證），得，故）由（同理可證），，等式兩邊同左乘A，因A可逆。得，即。

可逆的等價(jià)條件

1、齊次方程方程組僅有零解。

2、A行等價(jià)與單位矩陣I

3、A可寫成若干個(gè)初等矩陣之積。

4、是（當(dāng)時(shí)，A稱為奇異矩陣），利用這個(gè)方法，來(lái)判定一個(gè)矩陣是否可逆更加方便。

證明

必要性：當(dāng)矩陣A可逆，則有。（其中I是單位矩陣）

兩邊取行列式，

由行列式的性質(zhì)：

則，（若等于0則上式等于0）

充分性：有伴隨矩陣的定理，有

（其中是的伴隨矩陣。）

當(dāng)，等式同除以，變成

比較逆矩陣的定義式，可知逆矩陣存在且逆矩陣

求法

求逆矩陣的初等變換法

將一n階可逆矩陣A和n階單位矩陣I寫成一個(gè)nX2n的矩陣

設(shè)A是數(shù)域上的一個(gè)n階矩陣，若在相同數(shù)域上存在另一個(gè)n階矩陣B，使得： AB=BA=E ，則我們稱B是A的逆矩陣，而A則被稱為可逆矩陣。注：E為單位矩陣。逆矩陣，或可逆是線性代數(shù)中最重要的內(nèi)容。

1、下列命題等價(jià)：1）A為n階可逆矩陣2）A是非奇異的。3）A是滿秩的。4）A是行滿秩的。5）A是列滿秩的。6）方程組AX=0僅有零解7）方程組AX=B僅有唯一解。8）A的行向量組線性無(wú)關(guān)。9）A的列向量組線性無(wú)關(guān)。10）A的任何特征值均非零。

2、可逆的重要性體現(xiàn)在：AB=C 表示B線性變換到 C， B與C是等價(jià)矩陣。同秩，同可逆或不可逆。是以B的列向量與C的列向量為基構(gòu)成的向量空間為相同的空間。擴(kuò)展資料逆矩陣性質(zhì)定理可逆矩陣一定是方陣。如果矩陣A是可逆的，其逆矩陣是唯一的。A的逆矩陣的逆矩陣還是A。記作（A-1）-1=A?？赡婢仃嘇的轉(zhuǎn)置矩陣AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (轉(zhuǎn)置的逆等于逆的轉(zhuǎn)置）若矩陣A可逆，則矩陣A滿足消去律。即AB=O（或BA=O），則B=O，AB=AC（或BA=CA），則B=C。兩個(gè)可逆矩陣的乘積依然可逆。矩陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)它是滿秩矩陣。