平面向量知識(shí)點(diǎn)梳理

一、兩個(gè)定理

1、共線向量定理：

兩向量共線（平行）等價(jià)于兩個(gè)向量滿足數(shù)乘關(guān)系（與實(shí)數(shù)相乘的向量不是零向量），且數(shù)乘系數(shù)唯一。用坐標(biāo)形式表示就是兩向量共線則兩向量坐標(biāo)的“內(nèi)積等于外積”。此定理可以用來證向量平行或者使用向兩平行的條件。此定理的延伸是三點(diǎn)共線！

三點(diǎn)共線可以向兩個(gè)向量的等式轉(zhuǎn)化：1. 三個(gè)點(diǎn)中任意找兩組點(diǎn)構(gòu)成的兩個(gè)向量共線，滿足數(shù)乘關(guān)系；

2. 以同一個(gè)點(diǎn)為始點(diǎn)、三個(gè)點(diǎn)為終點(diǎn)構(gòu)造三個(gè)向量，其中一個(gè)可由另外兩個(gè)線性表示，且系數(shù)和為1。

2、平面向量基本定理：

平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量可以線性表示任何一個(gè)向量，且系數(shù)唯一。這兩個(gè)不共線的向量構(gòu)成一組基底，這兩個(gè)向量叫基向量。

此定理的作用有兩個(gè)：

1. 可以統(tǒng)一題目中向量的形式；

2. 可以利用系數(shù)的唯一性求向量的系數(shù)（固定的算法模式）。

二、三種形式

平面向量有三種形式，字母形式、幾何形式、坐標(biāo)形式。字母形式要注意帶箭頭，多考慮幾何形式畫圖解題，特別是能得到特殊的三角形和四邊形的情況，向量的坐標(biāo)和點(diǎn)的坐標(biāo)不要混淆，向量的坐標(biāo)是其終點(diǎn)坐標(biāo)減始點(diǎn)坐標(biāo)，特殊情況下，若始點(diǎn)在原點(diǎn)，則向量的坐標(biāo)就是終點(diǎn)坐標(biāo)。

選擇合適的向量形式解決問題是解題的一個(gè)關(guān)鍵，優(yōu)先考慮用幾何形式畫圖做，然后是坐標(biāo)形式，最后考慮字母形式的變形運(yùn)算。

三、四種運(yùn)算

加、減、數(shù)乘、數(shù)量積。前三種運(yùn)算是線性運(yùn)算，結(jié)果是向量（0乘以任何向量結(jié)果都是零向量，零向量乘以任何實(shí)數(shù)都是零向量）；數(shù)量積不是線性運(yùn)算，結(jié)果是實(shí)數(shù)（零向量乘以任何向量都是0）。線性運(yùn)算符合所有的實(shí)數(shù)運(yùn)算律，數(shù)量積不符合消去律和結(jié)合律。

向量運(yùn)算也有三種形式：字母形式、幾何形式和坐標(biāo)形式。

加減法的字母形式注意首尾相接和始點(diǎn)重合。數(shù)量積的字母形式公式很重要，要能熟練靈活的使用。

加減法的幾何意義是平行四邊形和三角形法則，數(shù)乘的幾何意義是長度的伸縮和方向的共線，數(shù)量積的幾何意義是一個(gè)向量的模乘以另一個(gè)向量在第一個(gè)向量方向上的射影的數(shù)量。向量的夾角用尖括號表示，是兩向量始點(diǎn)重合或者終點(diǎn)重合時(shí)形成的角，首尾相接形成的角為向量夾角的補(bǔ)角。

射影數(shù)量有兩種求法：1. 向量的模乘以夾角余弦；2. 兩向量數(shù)量積除以另一向量的模。

加減法的坐標(biāo)形式是橫縱坐標(biāo)分別加減，數(shù)乘的坐標(biāo)形式是實(shí)數(shù)乘以橫、縱坐標(biāo)，數(shù)量積的坐標(biāo)形式是橫坐標(biāo)的乘積加縱坐標(biāo)的乘積。

四、五個(gè)應(yīng)用

求長度、求夾角、證垂直、證平行、向量和差積的模與模的和差積的關(guān)系。前三個(gè)應(yīng)用是數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，證平行的數(shù)乘運(yùn)算性質(zhì)，零向量不能說和哪個(gè)向量方向相同或相反，規(guī)定零向量和任意向量都平行且都垂直；一個(gè)向量乘以自己再開方就是長度；兩個(gè)向量數(shù)量積除以模的乘積就是夾角的余弦；兩個(gè)向量滿足數(shù)乘關(guān)系則必定共線（平行）。一個(gè)向量除以自己的模得到和自己同方向的單位向量，加符號是反方向的單位向量。