流體力學(xué)中的三大方程例題

流體力學(xué)中的三大方程是連續(xù)性方程、動(dòng)量方程和能量方程。

連續(xù)性方程是描述流體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中質(zhì)量守恒的方程，即單位時(shí)間內(nèi)流進(jìn)和流出控制體的質(zhì)量相等。

動(dòng)量方程是描述流體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)量守恒的方程，即單位時(shí)間內(nèi)流進(jìn)和流出控制體的動(dòng)量變化相等。

能量方程是描述流體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能量守恒的方程，即單位時(shí)間內(nèi)流進(jìn)和流出控制體的能量變化相等。

下面舉一個(gè)例題：

有一長(zhǎng)方形容器，長(zhǎng)為3m，寬為2m，高為1m。容器內(nèi)有一質(zhì)量為2kg的均勻浮體，其密度為0.5×10^3kg/m^3?，F(xiàn)以恒定速度向容器內(nèi)注入水，每分鐘注入100kg。問(wèn)：當(dāng)浮體完全浮起時(shí)，容器內(nèi)水的深度是多少？

根據(jù)連續(xù)性方程、動(dòng)量方程和能量方程，可以建立以下數(shù)學(xué)模型：

連續(xù)性方程：流量守恒

Q1h1 = Q2h2

其中 Q1 = 100 kg/min, h1 = h_start, Q2 = V * (ρ_water + ρ_float), h2 = h_end

動(dòng)量方程：動(dòng)量守恒

ρ_water * V * g * h_start = (ρ_water + ρ_float) * V * g * h_end

能量方程：能量守恒

ρ_water * V * g * h_start * (1 + cp) = (ρ_water + ρ_float) * V * g * h_end * cp

其中 cp 是水的比熱容。

通過(guò)解這組方程，可以求出當(dāng)浮體完全浮起時(shí)，容器內(nèi)水的深度 h_end。