三倍角公式推導(dǎo)及證明

三倍角公式是指：

$$\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3\theta$$ $$\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$$

我們可以通過(guò)倍角公式和其他三角函數(shù)公式來(lái)推導(dǎo)和證明這些公式。以下是其中一個(gè)可能的方法：

首先，我們使用倍角公式將 $2\theta$ 表示為 $\theta$ 的函數(shù)：

$$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$ $$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1$$

接著，我們將 $\sin 3\theta$ 和 $\cos 3\theta$ 表示為 $\sin\theta$ 和 $\cos\theta$ 的函數(shù)。我們用 $\sin 2\theta$ 和 $\cos 2\theta$ 來(lái)做到這一點(diǎn)：

$$\begin{aligned} \sin 3\theta &= \sin(2\theta+\theta) \ &= \sin 2\theta \cos\theta + \cos 2\theta \sin\theta \ &= (2\sin\theta\cos\theta)\cos\theta + (2\cos^2\theta - 1)\sin\theta \ &= 2\sin\theta\cos^2\theta + 2\cos^2\theta\sin\theta - \sin\theta \ &= 3\sin\theta - 4\sin^3\theta \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \cos 3\theta &= \cos(2\theta+\theta) \ &= \cos 2\theta \cos\theta - \sin 2\theta \sin\theta \ &= (2\cos^2\theta-1)\cos\theta - (2\sin\theta\cos\theta)\sin\theta \ &= 4\cos^3\theta - 3\cos\theta \end{aligned}$$

這樣就推導(dǎo)出了三倍角公式。

結(jié)論：三倍角公式為 sin 3θ = 3sinθ - 4sin^3θ。

解釋原因：可以通過(guò)將角度展開并利用三角函數(shù)的和差公式來(lái)推導(dǎo)和證明三倍角公式。

內(nèi)容延伸：三倍角公式在三角函數(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，特別是在解題中和三角函數(shù)的簡(jiǎn)化中。

同時(shí)，三倍角公式還可以拓展到其他三角函數(shù)中，如cos 3θ和tan 3θ等，為學(xué)習(xí)和應(yīng)用三角函數(shù)提供了更多的可能性。

正切三倍角公式

其推導(dǎo)過(guò)程如下

tan3a=tan(2a+a)

=(tan2a+tana)/(1-tan2atana)

=[2tana/(1-tan2a)+tana]/[1-2tan2a/(1-tan2a)]

=(3tana-tan3a)/(1-3tan2a)

就記住分子是3倍減去三次方

分母是1減去平方的3倍。