圓的弦長公式

弦長公式，在這里指直線與圓錐曲線相交所得弦長d的公式。

PS:圓錐曲線， 是數(shù)學(xué)、幾何學(xué)中通過平切圓錐（嚴(yán)格為一個(gè)正圓錐面和一個(gè)平面完整相切）得到的一些曲線，如：橢圓，雙曲線，拋物線等。

一：

弦長=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]

其中k為直線斜率,(x1,y1),(x2,y2)為直線與曲線的兩交點(diǎn),"││"為絕對(duì)值符號(hào),"√"為根號(hào)

證明方法如下：

假設(shè)直線為:Y=kx+b

圓的方程為：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

假設(shè)相交弦為AB，點(diǎn)A為（x1.y1)點(diǎn)B為(X2.Y2)

則有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2

把y1=kx1+b.

y2=kx2+b分別帶入,

則有：

AB=√（x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2

=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2

=√1+k^2*│x1-x2│

證明AB=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]

的方法也是一樣.

二：

拋物線y2=2px，過焦點(diǎn)直線交拋物

線于A(x1,y1)和B(x2,y2)兩點(diǎn)，則AB弦長：d=p+x1+x2 y2=-2px,過焦點(diǎn)直線交拋物線于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚兩點(diǎn)，則AB弦長：d=p-﹙x1+x2﹚

x2=2py,過焦點(diǎn)直線交拋物線于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚兩點(diǎn)，則AB弦長：d=p+y1+y2

x2=-2py,過焦點(diǎn)直線交拋物線于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚兩點(diǎn)，則AB弦長：d=p-﹙y1+y2﹚

三：

d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2] = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2]

關(guān)于直線與圓錐曲線相交求弦長，通用方法是將直線y=kx+b代入曲線方程，化為關(guān)于x(或關(guān)于y)的一元二次方程，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理及弦長公式√(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2]求出弦長，這種整體代換，設(shè)而不求的思想方法對(duì)于求直線與曲線相交弦長是十分有效的，然而對(duì)于過焦點(diǎn)的圓錐曲線弦長求解利用這種方法相比較而言有點(diǎn)繁瑣，利用圓錐曲線定義及有關(guān)定理導(dǎo)出各種曲線的焦點(diǎn)弦長公式就更為簡捷。

d =√[(1+k^2)△/a^2] =√(1+k^2)√(△)/|a|

在知道圓和直線方程求弦長時(shí)，可利用方法二，將直線方程代入圓方程，消去一未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程，其中△為一元二次方程中的 b^2：-4ac ，a為二次項(xiàng)系數(shù)。

補(bǔ)遺：公式2符合橢圓等圓錐曲線 不光是圓。公式/|a|是在整個(gè)平方根運(yùn)算后再進(jìn)行的……（先開平方了然后再除）

2式可以由1推出，很簡單，由韋達(dá)定理，x1+x2=-b/a x1x2=c/a 帶入再通分即可……

在知道圓和直線方程求弦長時(shí)也可以用勾股定理（點(diǎn)到直線距離、半徑、半弦）。