數(shù)列求和的方法總結(jié)

數(shù)列求和的七種方法：倒序相加法、分組求和法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、乘公比錯(cuò)項(xiàng)相減（等差×等比）、公式法、迭加法。

擴(kuò)展資料

1、倒序相加法

倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列{an}滿足與首末兩項(xiàng)等“距離”的兩項(xiàng)的和相等(或等于同一常數(shù))，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，可用倒序相加法。

2、分組求和法

分組求和法一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由幾個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列的通項(xiàng)公式組成，求和時(shí)可用分組求和法，分別求和而后相加。

3、錯(cuò)位相減法

錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的'前n項(xiàng)和可用此法來(lái)求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的。

4、裂項(xiàng)相消法

裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和。

5、乘公比錯(cuò)項(xiàng)相減（等差×等比）

這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an×bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}，{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。

6、公式法

對(duì)等差數(shù)列、等比數(shù)列，求前n項(xiàng)和Sn可直接用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解。運(yùn)用公式求解的注意事項(xiàng)：首先要注意公式的應(yīng)用范圍，確定公式適用于這個(gè)數(shù)列之后，再計(jì)算。

7、迭加法

主要應(yīng)用于數(shù)列{an}滿足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的條件下，可把這個(gè)式子變成an+1-an=f(n)，代入各項(xiàng)，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，經(jīng)過(guò)整理，可求出an，從而求出Sn。

1，公式法，顧名思義就是通過(guò)等差、等比數(shù)列或者其他常見(jiàn)的數(shù)列的求和公式進(jìn)行求解。

2， 倒序相加

如果一個(gè)數(shù)列{an}，與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)和相等或者等于同一個(gè)常數(shù)，則求該數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法。例如等差數(shù)列的求和公式，就可以用該方法進(jìn)行證明。

3，錯(cuò)位相減

形如An=Bn?Cn，其中{Bn}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為b1，公差為d；{Cn}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為c1，公比為q。對(duì)數(shù)列{An}進(jìn)行求和，首先列出Sn，記為①式；再把①式中所有項(xiàng)同乘等比數(shù)列{Cn}的公比q，即得q?Sn，記為②式；然后①②兩式錯(cuò)開(kāi)一位作差，從而得到{An}的前n項(xiàng)和。這種數(shù)列求和方式叫做錯(cuò)位相減。

備注：等差數(shù)列的通項(xiàng)常見(jiàn)形式為an=An+B(其中A、B為常數(shù))，等比數(shù)列通項(xiàng)常見(jiàn)的形式為an=Aqn-m(其中A、m為常數(shù))

4，裂項(xiàng)相消

把數(shù)列的每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只剩下首尾幾項(xiàng)，再進(jìn)行求和，這種數(shù)列求和方式叫做裂項(xiàng)相消。

常見(jiàn)裂項(xiàng)相消的情況：

5，分組求和

有一類數(shù)列，既不是等差，又不是等比，但若把這個(gè)數(shù)列適當(dāng)?shù)牟痖_(kāi)，就會(huì)分成若個(gè)等差，等比或者其他常見(jiàn)數(shù)列(即可用倒序相加，錯(cuò)位相減或裂項(xiàng)相消求和的數(shù)列)，然后分別求和，之后再進(jìn)行合并即可算出原數(shù)列的前n項(xiàng)和。

6，周期數(shù)列

一般地，若數(shù)列{an}滿足：存在一個(gè)最小的正整數(shù)T，使得an+T=an對(duì)于一切正整數(shù)n都成立，則數(shù)列{an}稱為周期數(shù)列，其中T叫做數(shù)列{an}的周期，接下來(lái)根據(jù)數(shù)列的周期性進(jìn)行求和。

7，數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，其對(duì)求數(shù)列通項(xiàng)，求和的歸納猜想證明起到了關(guān)鍵作用。

公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。(關(guān)鍵是找數(shù)列的通項(xiàng)結(jié)構(gòu))

1、分組法求數(shù)列的和： 如an=2n+3n ，an=2n+3n ，an=2n+3n

2、錯(cuò)位相減法求和：如an=n·2^n

3、裂項(xiàng)法求和：如an=1/n(n+1)

4、倒序相加法求和：如an= n

5、求數(shù)列的最大、最小項(xiàng)的方法：

① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 　② (an>0) 如an= ?、?an=f(n) 研究函數(shù)f(n)的增減性 如an= an^2+bn+c(a≠0)

6、在等差數(shù)列 中,有關(guān)Sn 的最值問(wèn)題——常用鄰項(xiàng)變號(hào)法求解：

(1)當(dāng) a1>0,d<0時(shí)，滿足{an}的項(xiàng)數(shù)m使得Sm取最大值.

(2)當(dāng) a10時(shí)，滿足{an}的項(xiàng)數(shù)m使得Sm取最小值. 　在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問(wèn)題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。