平方和公式推導(dǎo)的幾種方法

沒有平方和公式，只要平方差公式與完全平方和公式。平方差公式是:( a+b)( a-b)= a平方-b平方。

完全平方和公式:( a+b)平方= a平方+2ab+b平方。它們的推導(dǎo)方法通常是運用多項式相乘法則進(jìn)行。也可以利用面積進(jìn)行推導(dǎo)。

第一，數(shù)學(xué)歸納法

證明：

當(dāng)n=1時，左式=12=1

右式=1*(1+1)(2*1+1)/6=1*2*3/6=1

所以，當(dāng)n=1時，等式成立。

假設(shè)當(dāng)n=k時，等式也成立，那么：

12+22+……+k2=k(k+1)(2k+1)/6

則，當(dāng)n=k+1時，左式

=12+22+……+k2+(k+1)2

=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)2

=(k+1)*[(2k2+k)/6+(k+1)]

=(k+1)*(2k2+k+6k+6)/6

=[(k+1)/6]*(2k2+7k+6)

=[(k+1)/6]*(2k+3)(k+2)

=[(k+1)*(k+2)*(2k+3)]/6

={(k+1)*[(k+1)+1]*[2(k+1)+1]}/6

所以，當(dāng)n=k+1時，等式也成立

綜上： 12+22+……+n2=n(n+1)(2n+1)/6

第二，立方差公式作差累加法

證明：n3-(n-1)3=1×[n2+n(n-1)+(n-1)2]=3n2-3n+1

13-03=3×12-3×1+1

23-13=3×22-3×2+1

33-23=3×32-3×3+1

……

n3-(n-1)3=3n2-3n+1

各等式全相加

n3=3×(12+22+32+…+n2)-3(1+2+3+4+…+n)+n

=3×(12+22+32+…+n2)-3n(n+1)/2+n

=3×(12+22+32+…+n2)-n(3n+1)/2

故12+22+32+…+n2=[n3+n(3n+1)/2]/3=n(n+1)(2n+1)/6

第三，函數(shù)法

設(shè)f﹙n﹚=an3﹢bn2﹢cn﹢d

∴d=f﹙0﹚=0 a+b+c+d=f﹙1﹚=1 8a+4b+2c+d=f﹙2﹚=5 27a+9b+3c+d=f﹙3﹚=14

∴a=1/3 b=1/2 c=1/6 d=0

∴f﹙n﹚=﹙1／3﹚n3﹢﹙1／2﹚n2﹢﹙1／6﹚n=n(n+1)(2n+1)/6

設(shè)S=1^2+2^2+....+n^2(n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1...