Z變換的定義是什么

Z變換是離散時間信號的分析工具，它將復(fù)雜的離散時間信號分解成復(fù)雜頻譜序列。

它的定義如下：如果序列x[n]是一個離散時間信號，那么將x[n]乘以z^(-n) (z的負n次方)形成的級數(shù)就是Z變換：X(z)=∑(n=-∞)^(∞) x[n]z^(-n)。

Z變換把序列從時間域變換到Z域，Z域是復(fù)平面上的一個區(qū)域。

這種變換被廣泛應(yīng)用于數(shù)字信號處理、控制工程、通信工程以及相關(guān)領(lǐng)域中的系統(tǒng)分析和設(shè)計。

Z變換是一種數(shù)學(xué)工具，用于將離散時間信號轉(zhuǎn)換為連續(xù)時間信號。它是由美國工程師John W. ABC和Charles R. Johnson在1938年提出的。

Z變換的定義如下：設(shè)一個離散時間信號$x[n]$可以表示為一組復(fù)數(shù)序列$X[k]$的線性組合，即：

$$

x[n] = \sum_{k=0}^{\infty} X[k] z^{-n+k}

$$

其中，$z$是一個復(fù)變量，滿足$z^{-1}=z$,$z^0=1$,并且$z$的實部和虛部都是有限或無限接近于零的。

這個式子的意義是，對于任意一個非負整數(shù)$n$,我們可以將$x[n]$分解成若干個頻率不同的正弦波的疊加，每個正弦波的頻率為$\frac{1}{T}$,其中$T$是信號的采樣周期。而這些正弦波的振幅可以通過對$X[k]$進行傅里葉變換得到。

因此，Z變換可以用來描述離散時間信號的頻域特性，例如頻率、相位等信息。

Z變換的基本思想眾所周知來自拉普拉斯。在1947年由W. Hurewicz重新引入作為一個易操縱的方式來解決線性常系數(shù)差分方程。

它后來于1952年在哥倫比亞大學(xué)被Ragazzini和Zadeh冠以“the z-transform“用于采樣。

雙邊Z變換離散時間序列x[n]的Z變換定義為：式中，σ為實變數(shù)，ω為實變量，所以Z是一個幅度為，相位為ω的復(fù)變量。x[n]和X(Z)構(gòu)成一個Z變換對[1-2] 。