洛必達(dá)法則7種例題

①0/0型：

例：x?0lim(tanx-x)/(x-sinx)【這就是所謂的0/0型,因?yàn)閤?0時(shí),分子(tanx-x)?0,分母x-sinx?0】

=x?0lim(tanx-x)′/(x-sinx)′=x?0lim(sec2x-1)/(1-cosx)=x?0limtan2x/(1-cosx)【還是0/0型,繼續(xù)用洛必達(dá)】=x?0lim[(2tanxsec2x)/sinx]=x?0lim(2sec3x)=2

②∞/∞型

例：x?(π/2)lim[(tanx)/(tan3x)]【x?(π/2)時(shí)tanx?+∞,tan3x?-∞,故是∞/∞型】

=x?(π/2)lim[(tanx)′/(tan3x)′]=x?(π/2)lim[(sec2x)/(3sec23x)]=x?(π/2)lim[(cos23x)/3cos2x]【0/0型】

=x?(π/2)lim(-6cos3xsin3x)/(-6cosxsinx)]=x?(π/2)lim[(sin6x)/(sin2x)]【還是0/0型】

=x?(π/2)lim[(6cos6x)/(2cos2x)]=-5/(-2)=3

③0?∞型,這種情況不能直接用洛必達(dá),要化成0/(1/∞)或∞/(1/0)才能用.

例：x?0+lim(xlnx)【x?0+時(shí),lnx?-∞,故是0?∞型】

=x?0+lim[(lnx)/(1/x)]【x?0+時(shí)(1/x)?+∞,故變成了∞/∞型】

=x?0+lim[(1/x)/(-1/x2)]=x?0+lim(-x)=0

④1^∞型,1^∞=e^[ln(1^∞)]=e^(∞?ln1)=e^(∞?0)

例：x?0lim(1+mx)^(1/x)=x?0lime^[(1/x)ln(1+mx)]【e的指數(shù)是0/0型,可在指數(shù)上用洛必達(dá)】

=x?0lime^[m/(1+mx)]=e^m

⑤∞°型,∞°=e^(ln∞°)=e^(0?ln∞)

例：x?∞limm[x^(1/x)]=x?∞lime^[(1/x)lnx]【e的指數(shù)是∞/∞型,可在指數(shù)上用洛必達(dá)】

=x?∞lime^[(1/x)/1]=x?∞lime^(1/x)°=e°=1

⑥0°型,0°=e^(ln0°)=e^(0ln0)=e^(0?∞)

例：x?0lim(x^x)=x?0lime^(xlnx)=e

⑦∞－∞型,∞－∞=[1/(1/∞)-1/(1/∞)]=[(1/∞)-(1/∞)]/[(1/∞)(1/∞)=0/0]

例：x?1lim[1/(lnx)-1/(x-1)]=x?1lim[(x-1-lnx)]/[(x-1)lnx]【這就成了0/0型】

=x?1lim[1-(1/x)]/[lnx+(x-1)/x]=x?1lim[(x-1)/(xlnx+x-1)]【還是0/0型】

=x?1lim[1/(lnx+1+1)]=1/2。