求等差數(shù)列的所有公式

等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示。等差數(shù)列基本公式:末項=首項+(項數(shù)-1)×公差項數(shù)=(末項-首項)÷公差+1

等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示。

等差數(shù)列基本公式:

末項=首項+(項數(shù)-1)×公差

項數(shù)=(末項-首項)÷公差+1

首項=末項-(項數(shù)-1)×公差

和=(首項+末項)×項數(shù)÷2

通項公式

等差數(shù)列的通項公式為：an=a1+(n-1)d (1)

前n項和公式

前n項和公式為：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2)

以上n均屬于正整數(shù).

推論

1.從(1)式可以看出,an是n的一次函數(shù)(d≠0)或常數(shù)函數(shù)(d=0),(n,an)排在一條直線上,由(2)式知,Sn是n的二次函數(shù)(d≠0)或一次函數(shù)(d=0,a1≠0),且常數(shù)項為0.

2.從等差數(shù)列的定義、通項公式,前n項和公式還可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}

3.若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,則有am+an=ap+aq,Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差數(shù)列,等等.

若m+n=2p,則am+an=2ap

4.其他推論

和＝（首項＋末項）×項數(shù)÷2

項數(shù)＝（末項-首項）÷公差＋1

首項=2和÷項數(shù)-末項

末項=2和÷項數(shù)-首項

末項=首項+（項數(shù)-1）×公差

推論3證明

若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,則有若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,則有am+an=ap+aq

如am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d

=2a1+(m+n-2)d

同理得,

ap+aq=2a1+(p+q-2)d

又因為

m+n=p+q ;

a1,d均為常數(shù)

所以

若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,則有am+an=ap+aq

注：1.常數(shù)列不一定成立

2.m,p,q,n大于等于自然數(shù)

等差中項

在等差數(shù)列中,等差中項：一般設(shè)為Ar,Am+An=2Ar,所以Ar為Am,An的等差中項,且為數(shù)列的平均數(shù).

且任意兩項am,an的關(guān)系為：an=am+(n-m)d

它可以看作等差數(shù)列廣義的通項公式。