截長補短法的用法例題

1、截長:過某一點作長邊的垂線；在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。

2、補短:延長短邊；通過旋轉等方式使兩短邊拼合到一起。

3、截長補短法：初中數學幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的一種思想。截長就是在一條線上截取成兩段，補短就是在一條邊上延長，使其等于一條所求邊

一、截長補短法：

題目中出現線段之間的和差倍分時，考慮截長補短；

截長補短的目的是把幾條線段之間的數量關系轉換為兩條線段的等量關系。

二、典型例題：

例題1、如圖，在 △ABC 中，∠1 = ∠2 ， ∠B = 2∠C ，求證： AC = AB + BD

圖1

證明：（截長法）如圖，在線段 AC 上截取 AE = AB ，連接 DE

圖2

∵ AB = AE , ∠1 = ∠2 ， AD = AD

∴ △ABD ≌ △AED

∴ BD = ED , ∠B = ∠AED , AB = AE

∵ ∠B = 2∠C ∴ ∠AED = 2∠C = ∠EDC + ∠C

∴ ∠EDC = ∠C ∴ ED = EC （等角對等邊）

∵ AC = AE + EC

∴ AC = AB + BD （等量代換）

例題2、如圖，在正方形 ABCD 中，E , F 分別為 DC ，BC 邊上的點，且 ∠EAF = 45° ，連接 EF 。

求證： EF = BF + DE 。

圖3

證明：（補短法）如圖，將 DE 補在 FB 的延長線上，使 BG = DE , 連接 AG

圖4

∵ 在正方形 ABCD 中 有 AD = AB , ∠D = ∠ABG = 90° ， DE = BG

∴ △ADE ≌ △ABG ∴ ∠1 = ∠2 ， AE = AG

∵ ∠EAF = 45° ∠1 + ∠3 + ∠EAF = ∠DAB = 90°

∴ ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3 = ∠GAF = 45° = ∠EAF

∵ AE = AG , ∠EAF = ∠GAF ， AF = AF

∴ △EAF ≌ △GAF ∴ EF = GF

∵ GF = BF + BG = BF + DE

∴ EF = BF + DE

例題3、如圖，在 △ABC 中， ∠A = 90° ， AB = AC ，BD 平分 ∠ABC ，CE⊥BD 交 BD 的延長線于點 E 。

求證 ： CE = 1/2 BD 。

圖5

證明：如圖，延長 CE 交 BA 的延長線于點 F

圖6

∵ CE⊥BE ∴ ∠BEC = ∠BEF = 90°

∵ BD 平分 ∠ABC ∴ ∠1 = ∠2

∴ △BEC ≌ △BEF ∴ EC = EF

∵ ∠1 + ∠ADB = ∠3 + ∠EDC ， ∠ADB = ∠EDC （對頂角相等）

∴ ∠1 = ∠3

∵ AB = AC , ∠BAD = ∠CAF = 90° ， ∠1 = ∠3

∴ △ABD ≌ △ACF ∴ BD = CF = 2 CE

即 CE = 1/2 BD。