歐拉公式三角函數(shù)推導(dǎo)過程

歐拉公式的推導(dǎo)過程：

第一步，我們設(shè) z=x+yi，其中 x 和 y 是實數(shù)，i 是虛數(shù)單位，滿足 i2=?1。

第二步，根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式，我們可以將 z 寫成 ρ(cosθ+isinθ) 的形式，其中 ρ=x2+y2，θ 是 z 在復(fù)平面上的輻角。

第三步，根據(jù)三角函數(shù)的加法公式，我們有：

cos(A+B)=cosAcosB?sinAsinB

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

第四步，令 A=θ，B=2nπ（其中 n 是整數(shù)），則：

cos(A+B)=cos(θ+2nπ)=cosθ

sin(A+B)=sin(θ+2nπ)=sinθ

第五步，由于 ρ 和 θ 是 z 的極坐標表示中的兩個變量，我們可以將 ρ 和 θ 分別替換為 r 和 t，其中 r=∣z∣。

第六步，根據(jù)第五步的替換，我們可以得到：

z=r(cost+isint)

第七步，根據(jù)復(fù)數(shù)的模長和輻角，我們有：

r=∣z∣=x2+y2

t=arctan(xy)

第八步，將第七步中的 r 和 t 代入第六步中的公式，得到：

z=r(cost+isint)

綜上，我們得到了歐拉公式：

z=x+yi=r(cost+isint)。