極坐標(biāo)系 加速度

一、 直角坐標(biāo)系——直角坐標(biāo)系又稱(chēng)笛卡兒坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的位置矢徑可以寫(xiě)成為： （1）根據(jù)速度的定義可知 將（1）代入，則有1、速度： 于是，我們比較上面的等式，就可得到速度在直角坐標(biāo)系中的分量表達(dá)式為：可見(jiàn)速度沿三直角坐標(biāo)軸的分量（即分速度）就等于其相應(yīng)的坐標(biāo)對(duì)時(shí)間t 的一階導(dǎo)數(shù)。

速度的大?。?速度的方向就用方向余弦來(lái)表示： 。

同理，我們由加速度的定義不難得到它的分量表達(dá)式。

2、加速度根據(jù)加速度的定義： 比較這些恒等式可得加速度的直角坐標(biāo)分量表達(dá)式： 于是可得加速度的大小為： 加速度的方向用方向余弦表示。

如果質(zhì)點(diǎn)始終在某一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，我們采用的坐標(biāo)是平面正交坐標(biāo)系的話，那么將上面的分量表達(dá)式中的某一分量去掉，剩下的就是平面正交坐標(biāo)系中的分量表達(dá)式了。

二、 平面極坐標(biāo)系在研究質(zhì)點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，除了可用平面正交坐標(biāo)系外，還可以采用平面極坐標(biāo)系。

有時(shí)采用極坐標(biāo)系會(huì)比采用平面正交坐標(biāo)系來(lái)計(jì)算問(wèn)題要簡(jiǎn)單的多，特別是在研究有心力作用的力學(xué)問(wèn)題時(shí)，采用極坐標(biāo)就更顯示出它的優(yōu)越性。

在平面極坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的位置是用極徑r和極角θ這兩個(gè)極坐標(biāo)來(lái)確定的。

在平面極坐標(biāo)系中的單位矢量的取法與正交坐標(biāo)系的情形是不同的，在這里是沿矢徑方向上取一單位矢量 為徑向單位矢量。

在垂直矢徑方向上取一單位矢量 就稱(chēng)做橫向單位矢量。

于是，在極坐標(biāo)中，運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置矢徑： 。

因?yàn)榈玫搅宋皇冈诰唧w的坐標(biāo)系中的表達(dá)式，然后根據(jù)速度和加速度的定義，相繼就可以推出它們?cè)诰唧w的坐標(biāo)系中的分量表達(dá)式。

所以，由速度的定義 這個(gè)結(jié)果對(duì)不對(duì)？不對(duì)。

為什么不對(duì)？……，千萬(wàn)要注意：這里的單位矢量 與直角坐標(biāo)系中的單位矢量是不同的。

盡管這兒的單位矢量 和 的大小仍然等于１是不變的，但是，它們的方向卻是隨時(shí)在變化的，因此它們不是恒矢量而是變矢量，既然是變量，它們對(duì)時(shí)間的微商當(dāng)然就不會(huì)等于０了： 所以上式中還有一項(xiàng)要考慮進(jìn)去。

不能把它丟掉。

所以，速度應(yīng)該等于： 這兩項(xiàng)之和。

下面我們先來(lái)計(jì)算 為了直觀起見(jiàn)，我們結(jié)合圖來(lái)討論（上課時(shí)添加一圖）。

從圖上可以清楚地看到運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)從Ｍ這位置移到 這個(gè)位置時(shí)，單位矢量的方向都發(fā)生了變化，它們的變化量分別為 和d 。

這兩個(gè)變化量都是由于單位矢量的方向的改變所引起的變化量，單位矢量的大小等于１是不變的。

于是我們就很容易得到徑向單位矢量對(duì)時(shí)間微商的大?。?它的方向與與橫向單位矢 相同。

所以 對(duì)時(shí)間Ｔ的微商 。

同樣道理可以得到橫向單位矢量對(duì)時(shí)間的微商 。

為什么這里要加一個(gè)負(fù)號(hào)呢？從圖上可以看到d 的方向與 的方向反向，所以這里要加上一個(gè)負(fù)號(hào)表示 與 的方向相反。

將結(jié)果代入前式。

則有： （１）[因?yàn)椋核俣仁鞘噶?，所以可以將它投影到徑向和橫向上去。

得到徑向分速度 和橫向分速度 ，就分別稱(chēng)它們?yōu)閺较蛩俣群蜋M向速度，所以，它又恒等于 ]于是，我們比較（１）的兩個(gè)恒等式可見(jiàn)徑向速度分量： ；橫向速度分量 。

這就是速度在平面極坐標(biāo)系的兩個(gè)分量表達(dá)式, 由此可得速度的大小為： 我們結(jié)合上面的討論由（１）式不難了解它們的物理意義：徑向速度 是由位矢大小的變化引起的。

我們對(duì)（１）再求一次微商就能得到加速度在平面極坐標(biāo)中的分量表達(dá)式： = 同樣道理，我們也可以將加速度 沿徑向和橫向分解成兩個(gè)分量，沿徑向的分量就用相應(yīng)的符號(hào) 表示，沿橫向的加速度分量就用 表示。

所以上式又等于 。

我們就將此式的第一項(xiàng)叫做徑向加速度，第二項(xiàng)就叫做橫向加速度。

由（２）這個(gè)等式可見(jiàn)：徑向加速度的大小 , 橫向加速度的大小 。

故有加速度的大?。?。

這里要我們引起注意的是：同學(xué)中往往容易把第二項(xiàng)給丟了，因?yàn)閺较蛩俣?，則徑向加速度就等于極徑的二次微商 。

這項(xiàng)只是由徑向速度大小的變化所引起的，所以我們除了要考慮這一項(xiàng)之外，還得考慮由于橫向速度的方向的改變所引起的另一項(xiàng) ，它也是徑向的。

這一點(diǎn)必須要記住，應(yīng)用時(shí)不要忘了第二項(xiàng)。

我希望大家課外由 去推導(dǎo)一下。

通過(guò)推導(dǎo)不僅可以加深我們的印象，而且還能夠使我們?cè)谕茖?dǎo)過(guò)程中明確各項(xiàng)量的物理意義。

三、柱坐標(biāo)系：接下去介紹一下與平面極坐標(biāo)有關(guān)的另一種空間坐標(biāo)系，即柱坐標(biāo)系。

在平面極坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，我們就可以很省力地給出速度和加速度在柱坐標(biāo)系中的分量表達(dá)式。

對(duì)柱坐標(biāo)系我想大家還是比較熟的，直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的變換關(guān)系大家都知道，即： 在三維空間運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)Ｐ的位置，在極坐標(biāo)系中是由〈 〉這三個(gè)坐標(biāo)來(lái)確定的。

我們從圖上可以看到，這三個(gè)柱坐標(biāo)就是由運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在空間任一點(diǎn)的位置Ｐ在ＯＸＹ平面上垂足（即投影點(diǎn)M），它在ＯＸＹ這個(gè)平面內(nèi)的極坐標(biāo)（Ｒ， ）加上這個(gè)垂直坐標(biāo)Ｚ而構(gòu)成的。

所以，在柱坐標(biāo)系中，運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置矢徑 的具體表達(dá)式好不好寫(xiě)呢？它只是比平面極坐標(biāo)系多了一個(gè)Ｚ分量而已。

位置矢徑 就等于： （１）［這里的單位矢量就如圖哪樣取……。

］仿照平面極坐標(biāo)系的推導(dǎo)方法，就能很快地推出速度和加速度在極坐標(biāo)系中的分量表達(dá)式：速度 （２）所以速度 在 這三個(gè)方向的分量分別為： 。

速度的大小： 。

加速度就等于： 則加速度的三個(gè)分量為： ，加速度的大?。?我們從（２），（３）兩式可以看出，速度，加速度在柱坐標(biāo)系中的分量只是比平面極坐標(biāo)系多了一個(gè)Ｚ方向的分量。

因此，只要記住了速度、加速度在平面極坐標(biāo)系中的分量式。

那么，它們?cè)谥鴺?biāo)中的分量式也就不難記住了。

在平面極坐標(biāo)的速度和加速度的分量表達(dá)式一定要記住。

接下去介紹速度，加速度在自然坐標(biāo)系中的分量式，也就是內(nèi)稟方程。

四、自然坐標(biāo)系：——內(nèi)稟方程在這里我們只研究平面運(yùn)動(dòng)的情況［質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)的情況］。

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在作平面曲線運(yùn)動(dòng)的情況下，采用自然坐標(biāo)系比采用極坐標(biāo)系，有時(shí)顯得更加方便一些。

對(duì)自然坐標(biāo)大家是熟悉的。

因?yàn)?，在《力學(xué)基礎(chǔ)》中已經(jīng)學(xué)過(guò)。

什么是自然坐標(biāo)？請(qǐng)哪個(gè)同學(xué)回答。

所謂的自然坐標(biāo)，就是在已知的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡上取任一點(diǎn)Ｏ做為原點(diǎn)，并規(guī)定軌跡的方向。

質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的位置就用它相對(duì)質(zhì)點(diǎn)Ｏ的曲線弧長(zhǎng)Ｓ來(lái)確定的，這個(gè)弧坐標(biāo)Ｓ稱(chēng)為自然坐標(biāo)。

如果我們把質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的切線和法線作為坐標(biāo)軸而建立坐標(biāo)系，這種坐標(biāo)系就叫做“自然坐標(biāo)系”。

自然坐標(biāo)系的方位指向是隨著運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置的變化而變化的。

在自然坐標(biāo)系中我們同樣可以將速度和加速度分解成切向和法向分量。

今天我們不采用過(guò)去的推導(dǎo)方法，而采用更簡(jiǎn)潔的方法得出同樣的結(jié)論。

推導(dǎo)的出發(fā)點(diǎn)仍然是他們的定義。

［因?yàn)樵跇O限的情況下 ， 的方向就是質(zhì)點(diǎn)在該點(diǎn)軌跡的切線方向，所以 我們可以用切線方向上的單位矢量來(lái)表示。

路程Ｓ對(duì)時(shí)間的變化率就是速率即速度的大?。荨?/p>

所以根據(jù)加速度的定義有： [如果我們令軌道的切線和X軸的 夾角為θ的話，哪么我們套用前面 這一結(jié)果，就很容易地得到： 這里的 是垂直與 指向曲線凹的一面的單位矢量即法向 的單位矢量。

為了使角量不在這個(gè)式子中出現(xiàn)，我們可以想辦法用其他的量代替它。

我們可以將 寫(xiě)成為： 這個(gè)比值我們由高等數(shù)學(xué)知識(shí)可知，它就等于曲線在該處的曲率，即該處曲率半徑 的倒數(shù)： 于是可得切向加速度的大小： ……（2）法向加速度的大小 (3) 由前面的推導(dǎo)可知切向加速度是由速度的大小改變而引起的，法向加速度是由速度方向的改變所引起的。

所以，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，切向加速度有可能等于0，而法向加速度不可能有等于零的情況的。

由于 和 都與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)。

只與軌道的本身性質(zhì)有關(guān)。

因此，（2）（3）兩式有時(shí)也就稱(chēng)為內(nèi)稟性方程。

上面我們討論的前提是質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)。

那么，所得 到的結(jié)果對(duì)空間曲線運(yùn)動(dòng)能否適用呢？對(duì)這個(gè)回答是肯定的，它還能適用于空間曲線，在這里我們要碰到微分幾何學(xué)上的一個(gè)基本概念：密切平面，我們書(shū)上敘述比較繁，我們初次接觸往往不容易看懂，我用一句簡(jiǎn)單的話幫助我們理解密切平面的概念。

由 確定的平面就是密切平面，如果我們用 表示切向單位矢量， 那么， 的方向就是決定主法線的方向，我們就用 來(lái)表示主法線方向上的單位矢量。

除了位于密切平面內(nèi)的主法線之外。

還有一條垂直與切平面的副法線。

副法線方向的單位矢量就用符號(hào) 表示。

它的方向由 和 的方向決定，用矢量式表示的話，則有： = × 。

遵循右手螺旋法則。

所以在上圖應(yīng)該這樣畫(huà)（見(jiàn)上圖）。

這個(gè)切向和主法線方向 組成的平面也就是密切平面。

由于加速度總是位于軌跡的密切平面內(nèi)，所以，加速度只有在切線方向和主法線方向上的分量，加速度在垂直于密切平面的副法線方向上的加速度分量必定是等于0的。

最后再介紹一下球坐標(biāo)系中的速度和加速度。

五、球坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在球坐標(biāo)系中的位置是用球坐標(biāo) 來(lái)表示的。

這兒的三個(gè)單位矢量是 ，直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)得關(guān)系為： 所以，在球坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)的位置矢徑可寫(xiě)成為：= r + r + 同樣根據(jù)速度和加速度的定義可以求出球坐標(biāo)系中的速度和加速度的表達(dá)式：我將結(jié)果寫(xiě)出來(lái)，推導(dǎo)過(guò)程就留給大家去做。

作為這次課的作業(yè)。

= +r +r = ( —r —r θ)+ (r +2 —r ) + (r +2 +2r )可見(jiàn)結(jié)果很繁，一般不用球坐標(biāo)研究運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。