二次函數(shù)配方筆記

求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸方程、最大值或最小值等都需要運(yùn)用配方法將二次函數(shù)化為y=a(x-h)2+k的形式，其中配方是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，這里的配方雖然與一元二次方程的配方有點(diǎn)類似，但不盡相同，不少初學(xué)者茫然無措．現(xiàn)將配方過程歸納為如下口訣，方便大家的學(xué)習(xí)．

二次系數(shù)先提取，常數(shù)暫且往后移；

一次系數(shù)取一半，平方以后再加減；

前三配方四相乘，最后再算常數(shù)項(xiàng)．

口訣解析：

'二次系數(shù)先提取，常數(shù)暫且往后移'的意思是：

把y=ax2+bx+c的二次項(xiàng)系數(shù)a作為公因式提取，常數(shù)項(xiàng)c放到括號外的后面，化為：

'一次系數(shù)取一半，平方以后再加減'的意思是：

在括號內(nèi)的x2+bx/a，取一次項(xiàng)的系數(shù)b/a的一半b/(2a)，加上和減去它的平方[b/(2a)]2，化為：

'前三配方四相乘'的意思是：

具體運(yùn)用看如下例子：

例1把y=2x2-3x-5化為y=a(x-h)2+k的形式.

解：'二次系數(shù)先提取，常數(shù)暫且往后移'，得：

y=2(x2-3x/2)-5；

'一次系數(shù)取一半，平方以后再加減'得：

y=2(x2-3x/2+9/16-9/16)-5；

'前三配方后相乘'，得

y=2(x-3/2)2-9/16×2-5；

'再加后面常數(shù)項(xiàng)'，得：

y=2(x-3/2)2-49/8.

例2 用配方法求二次函數(shù)y=-x2+4x+1的圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)．

解：根據(jù)配方口訣，得：

y=-( x2-4x)+1

=-( x2-4x+4-4)+1

=-[ (x-2)2-4]+1

=-(x-2)2-4×(-1)+1

=-(x-2)2+5.

所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，5）．

例3 求二次函數(shù)y=3x2/2+9x-7的最小值．

解：根據(jù)配方口訣，得：

y=3/2(x2+6x)-7

=3/2(x2+6x+9-9)-7

=3/2[(x+3)2-9]-7

=3/2(x+3)2-9×3/2-7

=3/2(x+3)2-41/2，

因?yàn)閍=3/2>0，所以當(dāng)x=-3時(shí)，y最小值=-41/2.

例4求拋物線y=ax2-4ax+1的對稱軸方程．

解：y=a(x2-4x)+1

=a(x2-4x+4-4)+1

=a[(x-2)2-4]+1

=a(x-2)2-4a+1，

所以對稱軸方程為x=2.