多元函數(shù)的極值公式

1. 為：求偏導(dǎo)數(shù)，令其等于0，解出所有自變量的值，再通過二階偏導(dǎo)數(shù)判斷是否為極值。

2. 這個(gè)公式的原因是因?yàn)槎嘣瘮?shù)的極值點(diǎn)是在偏導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)上，因此通過求偏導(dǎo)數(shù)并令其等于0可以求出所有的極值點(diǎn)。

3. 值得延伸的是，多元函數(shù)的極值問題在實(shí)際應(yīng)用中非常重要，例如在優(yōu)化問題中，需要求出函數(shù)的最大值或最小值，而可以幫助我們解決這些問題。

同時(shí)，對(duì)于一些復(fù)雜的多元函數(shù)，可能需要使用拉格朗日乘數(shù)法等方法來求解其極值點(diǎn)。

您好，如下：

設(shè) $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 在點(diǎn) $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 處有極值，且 $f$ 在 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 的鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有：

1. 如果 $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,a_2,\cdots,a_n)=0$，則 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 可能是 $f$ 的極值點(diǎn)；

2. 如果 $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}(a_1,a_2,\cdots,a_n)>0$，則 $f(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 是 $f$ 的極小值；

3. 如果 $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}(a_1,a_2,\cdots,a_n)<0$，則 $f(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 是 $f$ 的極大值；

4. 如果 $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}(a_1,a_2,\cdots,a_n)=0$，則不能確定 $f(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 是否是 $f$ 的極值。

1. 為：對(duì)于一個(gè)n元函數(shù)f(x1,x2,...,xn)，如果它在點(diǎn)(x1^0,x2^0,...,xn^0)處取得極值，那么必須滿足偏導(dǎo)數(shù)都為0，即?f/?xi=0(i=1,2,...,n)。

2. 這個(gè)公式的原因是因?yàn)樵诙嘣瘮?shù)中，極值點(diǎn)的必要條件是所有偏導(dǎo)數(shù)都為0。

這是因?yàn)樵跇O值點(diǎn)處，函數(shù)的變化率為0，而偏導(dǎo)數(shù)可以表示函數(shù)在某個(gè)方向上的變化率，因此所有方向上的變化率都為0，也就是所有偏導(dǎo)數(shù)都為0。

3. 在實(shí)際應(yīng)用中，可以用于求解優(yōu)化問題，比如在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，可以用于求解生產(chǎn)函數(shù)的最大產(chǎn)出或者成本函數(shù)的最小成本等問題。