錯位相減法求和典型例題

錯位相減法錯位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。

形如An=BnCn，其中Bn為等差數(shù)列，Cn為等比數(shù)列；分別列出Sn，再把所有式子同時乘以等比數(shù)列的公比，即kSn；然后錯一位，兩式相減即可。

例如，求和Sn=x+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0）

當(dāng)x=1時，Sn=1+3+5+…+(2n-1)＝n^2；

當(dāng)x不等于1時，Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)；

∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n；

兩式相減得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n；

化簡得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2

Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n

兩邊同時乘以1/2

1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同，這樣寫看的更清楚些）

兩式相減

1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)

Sn=1-1/2^n

錯位相減法是求和的一種解題方法。在題目的類型中：一般是a前面的系數(shù)和a的指數(shù)是相等的情況下才可以用。這是例子（格式問題，在a后面的數(shù)字和n都是指數(shù)形式）：

S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan （1）

在（1）的左右兩邊同時乘上a。 得到等式（2）如下：

aS= a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 （2）

用（1）—（2），得到等式（3）如下：

（1-a）S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 （3）

（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1

S=a+a2+a3+……+an-1+an用這個的求和公式。

（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1

最后在等式兩邊同時除以（1-a）,就可以得到S的通用公式了。