高中數(shù)列公式總結(jié)

數(shù)列求和常用公式:

1）1+2+3+......+n=n(n+1)÷2

2）1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)÷6

3） 1^3+2^3+3^3+......+n^3=( 1+2+3+......+n)^2

=n^2*(n+1)^2÷4

4） 1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)

=n(n+1)(n+2)÷3

5） 1*2*3+2*3*4+3*4*5+......+n(n+1)(n+2)

=n(n+1)(n+2)(n+3)÷4

6） 1+3+6+10+15+......

=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+......+(1+2+3+...+n)

=[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]/2=n(n+1)(n+2) ÷6

7）1+2+4+7+11+......

=1+(1+1)+(1+1+2)+(1+1+2+3)+......+(1+1+2+3+...+n)

=(n+1)*1+[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]/2

=(n+1)+n(n+1)(n+2) ÷6

8）1/2+1/2*3+1/3*4+......+1/n(n+1)

=1-1/(n+1)=n÷(n+1)

9）1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+......+1/1+2+3+...+n)

=2/2*3+2/3*4+2/4*5+......+2/n(n+1)

=(n-1) ÷(n+1)

10）1/1*2+2/2*3+3/2*3*4+......+(n-1)/2*3*4*...*n

=(2*3*4*...*n- 1)/2*3*4*...*n

11）1^2+3^2+5^2+..........(2n-1)^2=n(4n^2-1) ÷3

12）1^3+3^3+5^3+..........(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)

13）1^4+2^4+3^4+..........+n^4

=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) ÷30

14）1^5+2^5+3^5+..........+n^5

=n^2 (n+1)^2 (2n^2+2n-1) ÷ 12

15）1+2+2^2+2^3+......+2^n=2^(n+1) – 1

ps：數(shù)列的性質(zhì)：

等差數(shù)列的基本性質(zhì)

⑴公差為d的等差數(shù)列，各項同加一數(shù)所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差仍為d．

⑵公差為d的等差數(shù)列，各項同乘以常數(shù)k所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd．

⑶若{ a }、{ b }為等差數(shù)列，則{ a ±b }與{ka ＋b}(k、b為非零常數(shù))也是等差數(shù)列．

⑷對任何m、n ，在等差數(shù)列{ a }中有：a = a + (n－m)d，特別地，當(dāng)m = 1時，便得等差數(shù)列的通項公式，此式較等差數(shù)列的通項公式更具有一般性．

⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆為自然數(shù)，且l + k + p + … = m + n + r + … （兩邊的自然數(shù)個數(shù)相等），那么當(dāng){a }為等差數(shù)列時，有：a + a + a + … = a + a + a + … ．

⑹公差為d的等差數(shù)列，從中取出等距離的項，構(gòu)成一個新數(shù)列，此數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd( k為取出項數(shù)之差)．

⑺如果{ a }是等差數(shù)列，公差為d，那么，a ，a ，…，a 、a 也是等差數(shù)列，其公差為－d；在等差數(shù)列{ a }中，a －a = a －a = md ．(其中m、k、 )

⑻在等差數(shù)列中，從第一項起，每一項(有窮數(shù)列末項除外)都是它前后兩項的等差中項．

⑼當(dāng)公差d＞0時，等差數(shù)列中的數(shù)隨項數(shù)的增大而增大；當(dāng)d＜0時，等差數(shù)列中的數(shù)隨項數(shù)的減少而減?。籨＝0時，等差數(shù)列中的數(shù)等于一個常數(shù)．

⑽設(shè)a ，a ，a 為等差數(shù)列中的三項，且a 與a ，a 與a 的項距差之比 = （ ≠－1），則a = ．

5．等差數(shù)列前n項和公式S 的基本性質(zhì)

⑴數(shù)列{ a }為等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列{ a }的前n項和S 可以寫成S = an + bn的形式(其中a、b為常數(shù))．

⑵在等差數(shù)列{ a }中，當(dāng)項數(shù)為2n (n N )時，S －S = nd， = ；當(dāng)項數(shù)為(2n－1) (n )時，S －S = a ， = ．

⑶若數(shù)列{ a }為等差數(shù)列，則S ，S －S ，S －S ，…仍然成等差數(shù)列，公差為 ．

⑷若兩個等差數(shù)列{ a }、{ b }的前n項和分別是S 、T (n為奇數(shù))，則 = ．

⑸在等差數(shù)列{ a }中，S = a，S = b (n＞m)，則S = (a－b)．

⑹等差數(shù)列{a }中， 是n的一次函數(shù)，且點（n， ）均在直線y = x + (a － )上．

⑺記等差數(shù)列{a }的前n項和為S ．①若a ＞0，公差d＜0，則當(dāng)a ≥0且a ≤0時，S 最大；②若a ＜0 ，公差d＞0，則當(dāng)a ≤0且a ≥0時，S 最?。?/p>

3．等比數(shù)列的基本性質(zhì)

⑴公比為q的等比數(shù)列，從中取出等距離的項，構(gòu)成一個新數(shù)列，此數(shù)列仍是等比數(shù)列，其公比為q ( m為等距離的項數(shù)之差)．

⑵對任何m、n ，在等比數(shù)列{ a }中有：a = a · q ，特別地，當(dāng)m = 1時，便得等比數(shù)列的通項公式，此式較等比數(shù)列的通項公式更具有普遍性．

⑶一般地，如果t ，k，p，…，m，n，r，…皆為自然數(shù)，且t + k，p，…，m + … = m + n + r + … (兩邊的自然數(shù)個數(shù)相等)，那么當(dāng){a }為等比數(shù)列時，有：a ．a(chǎn) ．a(chǎn) ．… = a ．a(chǎn) ．a(chǎn) ．… ．．

⑷若{ a }是公比為q的等比數(shù)列，則{| a |}、{a }、{ka }、{ }也是等比數(shù)列，其公比分別為| q |}、{q }、{q}、{ }．

⑸如果{ a }是等比數(shù)列，公比為q，那么，a ，a ，a ，…，a ，…是以q 為公比的等比數(shù)列．

⑹如果{ a }是等比數(shù)列，那么對任意在n ，都有a ·a = a ·q ＞0．

⑺兩個等比數(shù)列各對應(yīng)項的積組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，且公比等于這兩個數(shù)列的公比的積．

⑻當(dāng)q＞1且a ＞0或0＜q＜1且a ＜0時，等比數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)a ＞0且0＜q＜1或a ＜0且q＞1時，等比數(shù)列為遞減數(shù)列；當(dāng)q = 1時，等比數(shù)列為常數(shù)列；當(dāng)q＜0時，等比數(shù)列為擺動數(shù)列．

4．等比數(shù)列前n項和公式S 的基本性質(zhì)

⑴如果數(shù)列{a }是公比為q 的等比數(shù)列，那么，它的前n項和公式是S =

也就是說，公比為q的等比數(shù)列的前n項和公式是q的分段函數(shù)的一系列函數(shù)值，分段的界限是在q = 1處．因此，使用等比數(shù)列的前n項和公式，必須要弄清公比q是可能等于1還是必不等于1，如果q可能等于1，則需分q = 1和q≠1進(jìn)行討論．

⑵當(dāng)已知a ，q，n時，用公式S = ；當(dāng)已知a ，q，a 時，用公式S = ．

⑶若S 是以q為公比的等比數(shù)列，則有S = S ＋qS ．⑵

⑷若數(shù)列{ a }為等比數(shù)列，則S ，S －S ，S －S ，…仍然成等比數(shù)列．

⑸若項數(shù)為3n的等比數(shù)列(q≠－1)前n項和與前n項積分別為S 與T ，次n項和與次n項積分別為S 與T ，最后n項和與n項積分別為S 與T ，則S ，S ，S 成等比數(shù)列，T ，T ，T 亦成等比數(shù)列。