擺線參數(shù)方程求體積公式

擺線是指一條繩子一端固定，另一端圍繞一個(gè)固定點(diǎn)按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成的曲線。擺線的參數(shù)方程一般可以表示為：

x = a(t - sin(t))

y = a(1 - cos(t))

其中，a是擺線的振幅，t是時(shí)間參數(shù)。

要求擺線所圍成的封閉曲線的體積，可以利用旋轉(zhuǎn)體的體積公式進(jìn)行計(jì)算。擺線本身可以看作是y軸上的一條曲線，如果將其繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，即可形成一個(gè)旋轉(zhuǎn)體。

設(shè)旋轉(zhuǎn)體的體積為V，半徑為r。根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的體積公式，有：

V = ∫[a, b] πr^2 dx

在此處，x的取值范圍為[a, b]，a和b是擺線在x軸上的截距。

r是和y值有關(guān)的變量，可以通過y的表達(dá)式來表示：

r = y = a(1 - cos(t))

將r代入體積公式，有：

V = ∫[a, b] π(a(1 - cos(t)))^2 dx

= ∫[a, b] πa^2(1 - cos(t))^2 dx

將參數(shù)方程中的x表達(dá)式代入，有：

V = ∫[a, b] πa^2(1 - cos(t))^2 (t - sin(t))' dt

= ∫[a, b] πa^2(1 - cos(t))^2 (1 - cos(t))' dt

= ∫[a, b] πa^2(1 - cos(t))^3 dt

即，擺線所圍成的封閉曲線的體積公式為 V = ∫[a, b] πa^2(1 - cos(t))^3 dt。